कैलकुलस उदाहरण

$3 x y = \ln (x)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (x y' + y \cdot 1)$

चरण 2.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (x y' + y)$

चरण 2.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x y' + 3 y$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y$ घटाएं.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

चरण 5.2

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ के प्रत्येक पद को $3 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ के प्रत्येक पद को $3 x$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.2

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.2.1

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{3 x}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.3

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.3.1

$- 3 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.3.2.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

चरण 5.2.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

चरण 5.2.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

चरण 5.2.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

चरण 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ सेट करें और फिर $x$ को $y$ के रूप में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$3 x^{2}, x, 1$

चरण 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

चरण 7.1.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 7.1.4

चूंकि $3$ का $1$ और $3$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$3$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 7.1.5

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 7.1.6

$3, 1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$3$

चरण 7.1.7

$x^{2}$ के गुणनखंड $x \cdot x$ हैं, जो कि $x$ को एक दूसरे से $2$ बार गुणा करते हैं.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ $2$ बार आता है.

चरण 7.1.8

$x^{1}$ का गुणनखंड $x$ ही है.

$x^{1} = x$

$x$ $1$ बार आता है.

चरण 7.1.9

$x^{2}, x^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x \cdot x$

चरण 7.1.10

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2}$

चरण 7.1.11

$3 x^{2}, x, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $3$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$3 x^{2}$

चरण 7.2

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ के प्रत्येक पद को $3 x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ के प्रत्येक पद को $3 x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.2.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.4.1

$- \frac{y}{x}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.4.2

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.2.1.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$0 (3 x^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

चरण 7.2.3.1.2

$0$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

$1 - 3 y x = 0$

चरण 7.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 3 y x = - 1$

चरण 7.3.2

$- 3 y x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$- 3 y x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3 y$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

चरण 7.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

चरण 7.3.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

चरण 7.3.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

चरण 7.3.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

चरण 7.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x = \frac{1}{3 y}$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

फिर से लिखें.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

$3 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

चरण 8.2

चूंकि $y$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

चरण 8.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

चरण 8.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

चरण 8.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

समीकरण को $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3 y} = e$

चरण 8.5.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$3 y, 1$

चरण 8.5.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$3 y$

चरण 8.5.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{3 y} = e$ के प्रत्येक पद को $3 y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.1

$\frac{1}{3 y} = e$ के प्रत्येक पद को $3 y$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.2.2.1

$3 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

चरण 8.5.3.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = e (3 y)$

चरण 8.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.3.3.1

$3$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 = 3 e y$

चरण 8.5.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.4.1

समीकरण को $3 e y = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 e y = 1$

चरण 8.5.4.2

$3 e y = 1$ के प्रत्येक पद को $3 e$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.4.2.1

$3 e y = 1$ के प्रत्येक पद को $3 e$ से विभाजित करें.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

चरण 8.5.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.4.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

चरण 8.5.4.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

चरण 8.5.4.2.2.2

$e$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.4.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

चरण 8.5.4.2.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{3 e}$

चरण 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$3$ को $\frac{1}{3 e}$ से गुणा करें.

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

चरण 9.2

$\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$3$ और $\frac{1}{3 e}$ को मिलाएं.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

चरण 9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{3}{3 e}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

चरण 9.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

चरण 9.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = 1 e$

चरण 9.2.4

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$x = e$

चरण 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ वाले बिंदुओं को पता करें.

$(e, \frac{1}{3 e})$

चरण 11