कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 6$

$b = 8$

$k = 7$

$h = 4$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(4, 7)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{36 + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{36 + 64}$

चरण 5.3.3

$36$ और $64$ जोड़ें.

$\sqrt{100}$

चरण 5.3.4

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{10^{2}}$

चरण 5.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$10$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4, 13)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4, 1)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(4, 13), (4, 1)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4, 17)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(4, - 3)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(4, 17), (4, - 3)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}}{6}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{36 + 8^{2}}}{6}$

चरण 8.3.1.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{36 + 64}}{6}$

चरण 8.3.1.3

$36$ और $64$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{100}}{6}$

चरण 8.3.1.4

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{6}$

चरण 8.3.1.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{10}{6}$

चरण 8.3.2

$10$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5)}{6}$

चरण 8.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

चरण 8.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

चरण 8.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{3}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8^{2}}{10}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{64}{10}$

चरण 9.3.2

$64$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$64$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (32)}{10}$

चरण 9.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

चरण 9.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

चरण 9.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{32}{5}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

चरण 11

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

चरण 11.2

$\frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

चरण 11.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

चरण 11.2.1.3

$\frac{3}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

चरण 11.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

चरण 11.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

चरण 11.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1 + 7$

चरण 11.2.1.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 7$

चरण 11.2.2

$- 3$ और $7$ जोड़ें.

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

चरण 12

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

चरण 12.2

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

चरण 12.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

चरण 12.2.1.3

$x$ और $\frac{3}{4}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

चरण 12.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.4.1

$- \frac{3}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4 + 7$

चरण 12.2.1.4.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

चरण 12.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

चरण 12.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1 + 7$

चरण 12.2.1.5

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 + 7$

चरण 12.2.1.6

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 7$

चरण 12.2.2

$3$ और $7$ जोड़ें.

$y = - \frac{3 x}{4} + 10$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{3 x}{4} + 4, y = - \frac{3 x}{4} + 10$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(4, 7)$

शीर्ष: $(4, 13), (4, 1)$

फ़ॉसी: $(4, 17), (4, - 3)$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{5}{3}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{32}{5}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{3 x}{4} + 4$ , $y = - \frac{3 x}{4} + 10$

चरण 15