कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \ln (x^{2})$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{2})$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4.2

$\frac{2}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

चरण 1.3.6

$\ln (x^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \ln (x^{2})$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 + \ln (x^{2}) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$\ln (x^{2}) = - 2$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

चरण 2.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x^{2}) = - 2$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 2} = x^{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

समीकरण को $x^{2} = e^{- 2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = e^{- 2}$

चरण 2.4.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

चरण 2.4.3

$\pm \sqrt{e^{- 2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

चरण 2.4.3.2

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

चरण 2.4.3.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

चरण 2.4.3.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{1}{e}$

चरण 2.4.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{1}{e}$

चरण 2.4.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{1}{e}$

चरण 2.4.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = x \ln (x^{2})$ को $x = \frac{1}{e}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{e}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

चरण 3.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{2}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

चरण 3.2.3

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ को $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

चरण 3.2.4

$- 2$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

चरण 3.2.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

चरण 3.2.6

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

चरण 3.2.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (1^{2})$ का प्रसार करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

चरण 3.2.7.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

चरण 3.2.7.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

चरण 3.2.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

चरण 3.2.8.2

$\frac{1}{e}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

चरण 3.2.8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

चरण 3.2.9

अंतिम उत्तर $- \frac{2}{e}$ है.

$- \frac{2}{e}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = x \ln (x^{2})$ को $x = - \frac{1}{e}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{e}$ से बदलें.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{e}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

चरण 4.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

चरण 4.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

चरण 4.2.3

$\frac{1^{2}}{e^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

चरण 4.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{2}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

चरण 4.2.5

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ को $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

चरण 4.2.6

$- 2$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

चरण 4.2.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

चरण 4.2.8

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

चरण 4.2.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.9.1

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (1^{2})$ का प्रसार करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

चरण 4.2.9.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

चरण 4.2.9.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

चरण 4.2.10

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

चरण 4.2.11

$- \frac{1}{e} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.11.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

चरण 4.2.11.2

$2$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

चरण 4.2.12

अंतिम उत्तर $\frac{2}{e}$ है.

$\frac{2}{e}$

चरण 5

फलन $f (x) = x \ln (x^{2})$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ हैं.

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

चरण 6