कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{4} - 2 x + 1$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{3} - 2 + 0$

चरण 2.3.2

$4 x^{3} - 2$ और $0$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 2$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x^{3} - 2 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$4 x^{3} = 2$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$4 x^{3} - 2 = 0$

चरण 3.3

$4 x^{3} - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

चरण 3.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

चरण 3.3.3

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

चरण 3.4

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.2.1.2

$2 x^{3} - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 x^{3} - 1 = 0$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x^{3} = 1$

चरण 3.6

$2 x^{3} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$2 x^{3} = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.6.2.1.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = \frac{1}{2}$

चरण 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

चरण 3.8

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

चरण 3.8.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

चरण 3.8.3

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ से गुणा करें.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

चरण 3.8.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ से गुणा करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

चरण 3.8.4.2

$\sqrt[3]{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

चरण 3.8.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

चरण 3.8.4.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

चरण 3.8.4.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.5.1

$\sqrt[3]{2}$ को $2^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

चरण 3.8.4.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

चरण 3.8.4.5.3

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

चरण 3.8.4.5.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.4.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

चरण 3.8.4.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

चरण 3.8.4.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

चरण 3.8.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.5.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ को $\sqrt[3]{2^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

चरण 3.8.5.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ को $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

${\sqrt[3]{4}}^{4}$ को $\sqrt[3]{4^{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.2.2

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.2.3

$256$ को $4^{3} \cdot 4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.3.1

$256$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.2.3.2

$64$ को $4^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.2.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.4

$4$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.4.1

$4 \sqrt[3]{4}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.4.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

चरण 4.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.5.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

चरण 4.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

चरण 4.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

चरण 4.2.1.6

$- 1 \sqrt[3]{4}$ को $- \sqrt[3]{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

चरण 4.2.2

$- \sqrt[3]{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

चरण 4.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$- \sqrt[3]{4}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

चरण 4.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

चरण 4.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

चरण 4.2.4.1.2

$\sqrt[3]{4}$ में से $4 \sqrt[3]{4}$ घटाएं.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

चरण 4.2.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

चरण 4.2.5

अंतिम उत्तर $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ है.

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

चरण 5

फलन $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ है.

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

दशमलव रूप:

$y = - 0.19055078 \dots$

चरण 7