कैलकुलस उदाहरण

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

चरण 1

$1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$1$ ले जाएं.

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

चरण 1.2

$40 x^{3}$ और $- 3 x^{5}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

चरण 2

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{5}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2.3

$5$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $40$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $40 x^{3}$ का व्युत्पन्न $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3.3

$3$ को $40$ से गुणा करें.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

चरण 3.4.2

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

चरण 4.1.2

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

चरण 4.1.3

$- 15 u^{2} + 120 u$ में से $15 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$- 15 u^{2}$ में से $15 u$ का गुणनखंड करें.

$15 u (- u) + 120 u = 0$

चरण 4.1.3.2

$120 u$ में से $15 u$ का गुणनखंड करें.

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

चरण 4.1.3.3

$15 u (- u) + 15 u (8)$ में से $15 u$ का गुणनखंड करें.

$15 u (- u + 8) = 0$

चरण 4.1.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

चरण 4.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

चरण 4.3

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 4.3.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 4.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 4.3.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 4.3.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 4.4

$- x^{2} + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- x^{2} + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x^{2} + 8 = 0$

चरण 4.4.2

$x$ के लिए $- x^{2} + 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$- x^{2} = - 8$

चरण 4.4.2.2

$- x^{2} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.1

$- x^{2} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 4.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 4.4.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 4.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.3.1

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 8$

चरण 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

चरण 4.4.2.4

$\pm \sqrt{8}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.4.1

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.4.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

चरण 4.4.2.4.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

चरण 4.4.2.4.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

चरण 4.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ को $x = 0$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

चरण 5.2.1.2

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

चरण 5.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

चरण 5.2.1.4

$40$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

चरण 5.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 1$

चरण 5.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = 1$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 6

मूल फलन $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ को $x = 2 \sqrt{2}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2 \sqrt{2}$ से बदलें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.2

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ को $\sqrt{2^{5}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.4

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.5

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.5.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.5.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.7

$4$ को $32$ से गुणा करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.8

$128$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 6.2.1.9

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

चरण 6.2.1.10

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

चरण 6.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ को $\sqrt{2^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

चरण 6.2.1.12

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

चरण 6.2.1.13

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.13.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

चरण 6.2.1.13.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

चरण 6.2.1.14

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

चरण 6.2.1.15

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

चरण 6.2.1.16

$16$ को $40$ से गुणा करें.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

चरण 6.2.2

$- 384 \sqrt{2}$ और $640 \sqrt{2}$ जोड़ें.

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $256 \sqrt{2} + 1$ है.

$256 \sqrt{2} + 1$

चरण 7

मूल फलन $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ को $x = - 2 \sqrt{2}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2 \sqrt{2}$ से बदलें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उत्पाद नियम को $- 2 \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.2

$- 2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ को $\sqrt{2^{5}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.4

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.5

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.5.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.5.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.7

$4$ को $- 32$ से गुणा करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.8

$- 128$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

चरण 7.2.1.9

उत्पाद नियम को $- 2 \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

चरण 7.2.1.10

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

चरण 7.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ को $\sqrt{2^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

चरण 7.2.1.12

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

चरण 7.2.1.13

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.13.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

चरण 7.2.1.13.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

चरण 7.2.1.14

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

चरण 7.2.1.15

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

चरण 7.2.1.16

$- 16$ को $40$ से गुणा करें.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

चरण 7.2.2

$384 \sqrt{2}$ में से $640 \sqrt{2}$ घटाएं.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 256 \sqrt{2} + 1$ है.

$- 256 \sqrt{2} + 1$

चरण 8

फलन $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ हैं.

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

चरण 9