कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} + 42 x^{2} + 270 x + 5$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} + 42 x^{2} + 270 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $42$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $42 x^{2}$ का व्युत्पन्न $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3.3

$2$ को $42$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d x} [270 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $270$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $270 x$ का व्युत्पन्न $270 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 x^{2} + 84 x + 270 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 x^{2} + 84 x + 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.4.3

$270$ को $1$ से गुणा करें.

$6 x^{2} + 84 x + 270 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x^{2} + 84 x + 270 + 0$

चरण 1.5.2

$6 x^{2} + 84 x + 270$ और $0$ जोड़ें.

$6 x^{2} + 84 x + 270$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} + 84 x + 270 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$6 x^{2} + 84 x + 270$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$6 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 84 x + 270 = 0$

चरण 2.1.1.2

$84 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 (14 x) + 270 = 0$

चरण 2.1.1.3

$270$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 x^{2} + 6 (14 x) + 6 \cdot 45 = 0$

चरण 2.1.1.4

$6 x^{2} + 6 (14 x)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} + 14 x) + 6 \cdot 45 = 0$

चरण 2.1.1.5

$6 (x^{2} + 14 x) + 6 \cdot 45$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} + 14 x + 45) = 0$

चरण 2.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 14 x + 45$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $45$ है और जिसका योग $14$ है.

$5, 9$

चरण 2.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$6 ((x + 5) (x + 9)) = 0$

चरण 2.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (x + 5) (x + 9) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 5 = 0$

$x + 9 = 0$

चरण 2.3

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 2.4

$x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 9 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x = - 9$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (x + 5) (x + 9) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 5, - 9$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = 2 x^{3} + 42 x^{2} + 270 x + 5$ को $x = - 5$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 42 {(- 5)}^{2} + 270 (- 5) + 5$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$- 5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 42 {(- 5)}^{2} + 270 (- 5) + 5$

चरण 3.2.1.2

$2$ को $- 125$ से गुणा करें.

$f (- 5) = - 250 + 42 {(- 5)}^{2} + 270 (- 5) + 5$

चरण 3.2.1.3

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 5) = - 250 + 42 \cdot 25 + 270 (- 5) + 5$

चरण 3.2.1.4

$42$ को $25$ से गुणा करें.

$f (- 5) = - 250 + 1050 + 270 (- 5) + 5$

चरण 3.2.1.5

$270$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f (- 5) = - 250 + 1050 - 1350 + 5$

चरण 3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 250$ और $1050$ जोड़ें.

$f (- 5) = 800 - 1350 + 5$

चरण 3.2.2.2

$800$ में से $1350$ घटाएं.

$f (- 5) = - 550 + 5$

चरण 3.2.2.3

$- 550$ और $5$ जोड़ें.

$f (- 5) = - 545$

चरण 3.2.3

अंतिम उत्तर $- 545$ है.

$- 545$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = 2 x^{3} + 42 x^{2} + 270 x + 5$ को $x = - 9$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 9$ से बदलें.

$f (- 9) = 2 {(- 9)}^{3} + 42 {(- 9)}^{2} + 270 (- 9) + 5$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 9) = 2 \cdot - 729 + 42 {(- 9)}^{2} + 270 (- 9) + 5$

चरण 4.2.1.2

$2$ को $- 729$ से गुणा करें.

$f (- 9) = - 1458 + 42 {(- 9)}^{2} + 270 (- 9) + 5$

चरण 4.2.1.3

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 9) = - 1458 + 42 \cdot 81 + 270 (- 9) + 5$

चरण 4.2.1.4

$42$ को $81$ से गुणा करें.

$f (- 9) = - 1458 + 3402 + 270 (- 9) + 5$

चरण 4.2.1.5

$270$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f (- 9) = - 1458 + 3402 - 2430 + 5$

चरण 4.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 1458$ और $3402$ जोड़ें.

$f (- 9) = 1944 - 2430 + 5$

चरण 4.2.2.2

$1944$ में से $2430$ घटाएं.

$f (- 9) = - 486 + 5$

चरण 4.2.2.3

$- 486$ और $5$ जोड़ें.

$f (- 9) = - 481$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- 481$ है.

$- 481$

चरण 5

फलन $f (x) = 2 x^{3} + 42 x^{2} + 270 x + 5$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = - 545, y = - 481$ हैं.

$y = - 545, y = - 481$

चरण 6