कैलकुलस उदाहरण

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

चरण 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

चरण 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{6} + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{6}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

चरण 2.2.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + 12 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 2.3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 2.3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 2.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 y y' + 12 \cdot 1$

चरण 2.3.3.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y y' + 12$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

चरण 2.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3

$6 y^{5} y' - 2 y y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$6 y^{5} y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.2

$- 2 y y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.3

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

चरण 2.5.4

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (3 y^{4} - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (3 y^{4} - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2.3

$3 y^{4} - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1

$12$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1.2.1

$2 y (3 y^{4} - 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.5.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 2.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ घटाएं.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 3.2

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

चरण 3.2.2.2

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

चरण 3.2.3.2

$\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

चरण 3.3

दोनों पक्षों को $2 y (3 y^{4} - 1)$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.2.1

$2 y (3 y^{4} - 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.1.1.3

$y (3 y^{4} - 1)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.2.1.2

$2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.2.1

$2$ और $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ को मिलाएं.

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.2.1.2.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.2.1.3

$y (3 y^{4} - 1)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

चरण 3.4.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 x^{2} = 12$

चरण 3.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$3 x^{2} = 12$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$3 x^{2} = 12$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

चरण 3.5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

चरण 3.5.1.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{12}{3}$

चरण 3.5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.3.1

$12$ को $3$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 4$

चरण 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 3.5.3

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 3.5.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 3.5.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 3.5.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 3.5.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = y^{2} + 24$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $y^{2} + 24$ है.

$y^{2} + 24$

चरण 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$12$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f (- 2) = y^{2} - 24$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $y^{2} - 24$ है.

$y^{2} - 24$

चरण 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

चरण 7