कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

चरण 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

चरण 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (x y' + y \cdot 1)$

चरण 2.3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (x y' + y)$

चरण 2.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x y' + 2 y$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

चरण 2.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3

$3 y^{2} y' - 2 x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$3 y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.2

$- 2 x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.3

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.4

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} - 2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} - 2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

चरण 2.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1

$3 y^{2} - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

चरण 2.5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

चरण 2.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

चरण 2.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

चरण 3.2.2

$- 3 x^{2} = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 3 x^{2} = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

चरण 3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

चरण 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

चरण 3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ को $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.2.4.2

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.2.4.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.2.4.3.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.2.4.3.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.2.4.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.2.4.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.2.4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.3.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.2.4.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.2.4.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.2.4.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.2.4.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.2.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.4.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

चरण 3.2.4.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

चरण 3.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

चरण 3.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

चरण 3.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

चरण 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ और $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

चरण 4.2.2

$\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ है.

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

चरण 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ से बदलें.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

चरण 5.2.1.2

$- 2$ और $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

चरण 5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

चरण 5.2.3

$y$ और $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

चरण 5.2.4

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

चरण 5.2.5

अंतिम उत्तर $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ है.

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

चरण 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

चरण 7