कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 + \sin (x)$ है.

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ जोड़ें.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.2.1.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.2.1.3.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.1.3.2

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.2

$- \sin^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.3

$- \cos^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.4

$- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.4

$- 1 - 2 \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.9.4.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.4.2

$- 2 \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.4.3

$- 1 (1) - (2 \sin (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.4.4

$- 1 (1 + 2 \sin (x))$ को $- (1 + 2 \sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 1.9.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \sin (x) = - 1$

चरण 2.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 2.2.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

चरण 2.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $- \frac{π}{6}$ है.

$x = - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.5

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

चरण 2.2.6

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

चरण 2.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{6} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{7 π}{6}$

चरण 2.2.7

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.2.8

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{6}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

चरण 2.2.8.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.8.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.3.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 2.2.8.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 2.2.8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.4.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 π - π}{6}$

चरण 2.2.8.4.2

$12 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{11 π}{6}$

चरण 2.2.8.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{11 π}{6}$

चरण 2.2.9

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ को $x = \frac{7 π}{6}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{7 π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

चरण 3.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

चरण 3.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

चरण 3.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

चरण 3.2.2.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 3.2.2.4

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 3.2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

चरण 3.2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

चरण 3.2.2.6.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

चरण 3.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 3.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

चरण 3.2.5

$\frac{1}{3}$ और $\sqrt{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 3.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ है.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ को $x = \frac{11 π}{6}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{11 π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

चरण 4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

चरण 4.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

चरण 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

चरण 4.2.2.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 4.2.2.4

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 4.2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

चरण 4.2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

चरण 4.2.2.6.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 4.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

चरण 4.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

चरण 4.2.5

$\sqrt{3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 4.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{3}}{3}$ है.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 5

फलन $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 6