कैलकुलस उदाहरण

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

चरण 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

चरण 1.2

$\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

चरण 1.2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

चरण 1.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

चरण 1.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

चरण 1.3.3

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

चरण 1.3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

चरण 1.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

चरण 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

चरण 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

${(y - 2)}^{2}$ को $(y - 2) (y - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

चरण 3.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(y - 2) (y - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

चरण 3.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

चरण 3.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

चरण 3.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

चरण 3.2.3.1.2

$- 2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

चरण 3.2.3.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

चरण 3.2.3.2

$- 2 y$ में से $2 y$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

चरण 3.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} - 4 y + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.7

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 y$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y y' - 4 y' + 0$

चरण 3.2.10

$2 y y' - 4 y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 y y' - 4 y'$

चरण 3.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 (x - 3)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

चरण 3.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (1 + 0)$

चरण 3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \cdot 1$

चरण 3.3.5.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 3.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' - 4 y' = 4$

चरण 3.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y y' - 4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$2 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y - 4 y' = 4$

चरण 3.5.1.2

$- 4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

चरण 3.5.1.3

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y - 2) = 4$

चरण 3.5.2

$2 y' (y - 2) = 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2 y' (y - 2) = 4$ के प्रत्येक पद को $2 (y - 2)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.2.2

$y - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

चरण 3.5.2.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

चरण 3.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{y - 2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 = 0$

चरण 4.2

$2 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 5

व्युत्पन्न को $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ के बराबर सेट करके कोई हल नहीं मिला है, इसलिए कोई क्षैतिज स्पर्शरेखा रेखाएं नहीं हैं.

कोई क्षैतिज स्पर्शरेखा नहीं मिली

चरण 6