कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

चरण 1

जांचें कि क्या दिया गया बिंदु दिए गए फलन के ग्राफ पर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$f (x) = x^{3} - 2$ का मूल्यांकन $x = 1$ पर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

चरण 1.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 1 - 2$

चरण 1.1.2.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f (1) = - 1$

चरण 1.1.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 1.2

चूंकि $- 1 = - 1$ , बिंदु ग्राफ पर है.

बिंदु ग्राफ पर है

चरण 2

स्पर्शरेखा रेखा का ढाल व्यंजक का व्युत्पन्न है.

$m$ $=$ , $f (x) = x^{3} - 2$ का व्युत्पन्न

चरण 3

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 4

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

चरण 4.1.2.2

अंतिम उत्तर $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ है.

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

चरण 4.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

चरण 4.2.2

$x$ ले जाएं.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

चरण 4.2.3

$x^{3}$ ले जाएं.

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

चरण 4.2.4

$3 h x^{2}$ ले जाएं.

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

चरण 4.2.5

$3 h^{2} x$ और $h^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

चरण 4.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

चरण 5

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

चरण 6.1.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

चरण 6.1.3

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

चरण 6.1.4

$h^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

चरण 6.1.5

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

चरण 6.1.6

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 6.1.7

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.7.1

$h^{3}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 6.1.7.2

$3 h^{2} x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

चरण 6.1.7.3

$3 h x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

चरण 6.1.7.4

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

चरण 6.1.7.5

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 6.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

चरण 6.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

चरण 6.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$h$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

चरण 6.2.2.2

$h^{2}$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

चरण 6.2.2.3

$3 x h$ और $3 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

चरण 7

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 8

$3 x^{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 9

$3 x$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

चरण 10

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $h^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 11

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

चरण 11.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

चरण 12

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$3 x \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

$0$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

चरण 12.1.1.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

चरण 12.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$3 x^{2} + 0 + 0$

चरण 12.2

$3 x^{2} + 0 + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 0$

चरण 12.2.2

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 13

इस मामले में $m = 3$ . ढलान $m$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

कोष्ठक हटा दें.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

चरण 13.2

$3 \cdot 1^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$m = 3 \cdot 1$

चरण 13.2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$m = 3$

चरण 14

ढलान $m = 3$ है और बिंदु $(1, - 1)$ है.

$m = 3, (1, - 1)$

चरण 15

एक रेखा के समीकरण सूत्र का उपयोग करके $b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$b$ पता करने के लिए एक रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करें.

$y = m x + b$

चरण 15.2

समीकरण में $m$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (3) \cdot x + b$

चरण 15.3

समीकरण में $x$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (3) \cdot (1) + b$

चरण 15.4

समीकरण में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

चरण 15.5

$b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

समीकरण को $(3) \cdot (1) + b = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

चरण 15.5.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + b = - 1$

चरण 15.5.3

$b$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$b = - 1 - 3$

चरण 15.5.3.2

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$b = - 4$

चरण 16

अब जबकि $m$ (ढलान) और $b$ (y- अंत:खंड) के मान ज्ञात हो गए हैं, रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के लिए उन्हें $y = m x + b$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 x - 4$

चरण 17