कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

चरण 1

जांचें कि क्या दिया गया बिंदु दिए गए फलन के ग्राफ पर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ का मूल्यांकन $x = 0$ पर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

चरण 1.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = \frac{1}{1}$

चरण 1.1.2.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (0) = 1$

चरण 1.1.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 1.2

चूंकि $1 = 1$ , बिंदु ग्राफ पर है.

बिंदु ग्राफ पर है

चरण 2

स्पर्शरेखा रेखा का ढाल व्यंजक का व्युत्पन्न है.

$m$ $=$ , $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ का व्युत्पन्न

चरण 3

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 4

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

चरण 4.1.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{x + h + 1}$ है.

$\frac{1}{x + h + 1}$

चरण 4.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

चरण 5

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{x + h + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

चरण 6.1.2

$- \frac{1}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

चरण 6.1.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h + 1) (x + 1)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$\frac{1}{x + h + 1}$ को $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

चरण 6.1.3.2

$\frac{1}{x + 1}$ को $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5

$\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5.5

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.5.6

$- h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 6.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 6.3

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 6.3.2

$- h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 6.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 6.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

चरण 6.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

चरण 7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

चरण 7.2

$\frac{1}{x + 1}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

चरण 7.3

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

चरण 7.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

चरण 7.5

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

चरण 7.6

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

चरण 7.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

चरण 8

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

चरण 9.2

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ को $\frac{1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

चरण 9.2.2

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

चरण 9.2.3

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

चरण 9.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

चरण 9.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 10

इस मामले में $m = - 1$ . ढलान $m$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

कोष्ठक हटा दें.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

चरण 10.2

कोष्ठक हटा दें.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

चरण 10.3

$- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

चरण 10.3.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$m = - \frac{1}{1}$

चरण 10.3.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$m = - \frac{1}{1}$

चरण 10.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$m = - 1 \cdot 1$

चरण 10.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$m = - 1$

चरण 11

ढलान $m = - 1$ है और बिंदु $(0, 1)$ है.

$m = - 1, (0, 1)$

चरण 12

एक रेखा के समीकरण सूत्र का उपयोग करके $b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$b$ पता करने के लिए एक रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करें.

$y = m x + b$

चरण 12.2

समीकरण में $m$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (- 1) \cdot x + b$

चरण 12.3

समीकरण में $x$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

चरण 12.4

समीकरण में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

चरण 12.5

$b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

समीकरण को $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

चरण 12.5.2

$(- 1) \cdot (0) + b$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + b = 1$

चरण 12.5.2.2

$0$ और $b$ जोड़ें.

$b = 1$

चरण 13

अब जबकि $m$ (ढलान) और $b$ (y- अंत:खंड) के मान ज्ञात हो गए हैं, रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के लिए उन्हें $y = m x + b$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = - x + 1$

चरण 14