कैलकुलस उदाहरण

$32 e^{x} - e^{2 x}$

चरण 1

$32 e^{x} - e^{2 x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $32 e^{x} - e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $32 e^{x}$ का व्युत्पन्न $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

चरण 2.1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.1.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

चरण 2.1.1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

चरण 2.1.1.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

चरण 2.1.1.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

चरण 2.1.2.2.2

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 e^{2 x}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.1.2.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.2.2

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.1.2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.1.2.3.4

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

चरण 2.1.2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

चरण 2.1.2.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

चरण 2.1.2.3.7

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ है.

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

चरण 2.2.2.2

मान लीजिए $u = e^{x}$ . $e^{x}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$32 u - 4 u^{2} = 0$

चरण 2.2.2.3

$32 u - 4 u^{2}$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$32 u$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

चरण 2.2.2.3.2

$- 4 u^{2}$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

चरण 2.2.2.3.3

$4 u (8) + 4 u (- u)$ में से $4 u$ का गुणनखंड करें.

$4 u (8 - u) = 0$

चरण 2.2.2.4

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x}$ से बदलें.

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

चरण 2.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

चरण 2.2.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.2.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.2.5

$8 - e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$8 - e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$8 - e^{x} = 0$

चरण 2.2.5.2

$x$ के लिए $8 - e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$- e^{x} = - 8$

चरण 2.2.5.2.2

$- e^{x} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.1

$- e^{x} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.2.5.2.2.2.2

$e^{x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.2.3.1

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$e^{x} = 8$

चरण 2.2.5.2.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

चरण 2.2.5.2.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.4.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (8)$

चरण 2.2.5.2.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (8)$

चरण 2.2.5.2.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (8)$

चरण 2.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \ln (8)$

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, \ln (8))$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

चरण 5.2.1.2

$32$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

चरण 5.2.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

चरण 5.2.1.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

चरण 5.2.1.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 32 - 4$

चरण 5.2.2

$32$ में से $4$ घटाएं.

$f'' (0) = 28$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $28$ है.

$28$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, \ln (8))$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- \infty, \ln (8))$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(\ln (8), \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $32 e^{5} - 4 e^{10}$ है.

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

चरण 6.3

अंतराल $(\ln (8), \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (5)$ ऋणात्मक है.

$(\ln (8), \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, \ln (8))$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(\ln (8), \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 8