कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[0, 6]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{4 x + 1}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$4 x + 1 \geq 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$4 x \geq - 1$

चरण 1.2.2

$4 x \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$4 x \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 1.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x \geq - \frac{1}{4}$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 6]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = 4 x + 1$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 4 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 5.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 4 x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 5.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 4 x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 24 + 1$

चरण 5.5.2

$24$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 25$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

चरण 6

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

चरण 8

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$25$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.4

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.5

$\frac{2}{3}$ और $125$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.6

$2$ को $125$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

चरण 10.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

चरण 10.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

चरण 10.2.10

$250$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

चरण 10.2.11

$\frac{1}{4}$ को $\frac{248}{3}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

चरण 10.2.12

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

चरण 10.2.13

$248$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.13.1

$248$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

चरण 10.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.13.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

चरण 10.2.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

चरण 10.2.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

चरण 11

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

चरण 11.2

$6$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

चरण 12

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

चरण 12.1.2

$62$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

चरण 12.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

चरण 12.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

चरण 12.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{31}{3}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

चरण 12.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{31}{9}$

चरण 13