कैलकुलस उदाहरण

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.5

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

चरण 1.1.6

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ और $0$ जोड़ें.

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

चरण 1.2

$f (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ है.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

चरण 2.2

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4 t^{3}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

चरण 2.2.2

$3 t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

चरण 2.2.3

$2 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

चरण 2.2.4

$t (4 t^{2}) + t (3 t)$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

चरण 2.2.5

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

चरण 2.4

$t$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t = 0$

चरण 2.5

$4 t^{2} + 3 t + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$4 t^{2} + 3 t + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

चरण 2.5.2

$t$ के लिए $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 4$ , $b = 3$ और $c = 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $t$ के लिए हल करें.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.2.2

$- 16$ को $2$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.3

$9$ में से $32$ घटाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.3.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.2.2

$- 16$ को $2$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.3

$9$ में से $32$ घटाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.4.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.4.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.4.5

$i \sqrt{23}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

चरण 2.5.2.4.6

$- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

चरण 2.5.2.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.2.2

$- 16$ को $2$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.3

$9$ में से $32$ घटाएं.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

चरण 2.5.2.5.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.5.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.5.5

$- i \sqrt{23}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

चरण 2.5.2.5.6

$- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

चरण 2.5.2.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.5.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $t$ मान पर $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$t = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 0 + 0 + 1$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 0 + 1$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 1$

चरण 4.1.2.2.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 1)$

चरण 5