कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{n}$ का समाकलन $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ है.

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

चरण 3

$\frac{1}{n + 1}$ और $u^{n + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 4.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

चरण 4.2

सरल करें.

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चरण 4.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

चरण 4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$