कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x^{2} - 4}$ को ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 4$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 4$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.1.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

चरण 1.1.11

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.11.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

चरण 1.1.11.2

$2$ और $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.11.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.11.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

चरण 3.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

चरण 3.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{x^{2} - 4} = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} = 0^{2}$

चरण 3.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1

घातांक को ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 3.3.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 3.3.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{2}$

चरण 3.3.2.2.1.2

सरल करें.

$x^{2} - 4 = 0^{2}$

चरण 3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x^{2} - 4 = 0$

चरण 3.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x^{2} = 4$

चरण 3.3.3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 3.3.3.3

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 3.3.3.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 3.3.3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 3.3.3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 3.3.3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 3.4

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{2} - 4}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} - 4 < 0$

चरण 3.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

असमानता के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x^{2} < 4$

चरण 3.5.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{4}$

चरण 3.5.3

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | < \sqrt{4}$

चरण 3.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$\sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x | < \sqrt{2^{2}}$

चरण 3.5.3.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | < | 2 |$

चरण 3.5.3.2.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$| x | < 2$

चरण 3.5.4

$| x | < 2$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 3.5.4.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x < 2$

चरण 3.5.4.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 3.5.4.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x < 2$

चरण 3.5.4.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x < 2 & x \geq 0 \\ - x < 2 & x < 0 \end{cases}$

चरण 3.5.5

$x < 2$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$0 \leq x < 2$

चरण 3.5.6

$- x < 2$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

$- x < 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1.1

$- x < 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

चरण 3.5.6.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} > \frac{2}{- 1}$

चरण 3.5.6.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x > \frac{2}{- 1}$

चरण 3.5.6.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1.3.1

$2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x > - 2$

चरण 3.5.6.2

$x > - 2$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$- 2 < x < 0$

चरण 3.5.7

हलों का संघ ज्ञात करें.

$- 2 < x < 2$

चरण 3.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\sqrt{x^{2} - 4}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\sqrt{0 - 4}$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ में से $4$ घटाएं.

$\sqrt{- 4}$

चरण 4.1.2.2

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{- 1 (4)}$

चरण 4.1.2.3

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 4.1.2.4

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$i \cdot \sqrt{4}$

चरण 4.1.2.5

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 4.1.2.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$i \cdot 2$

चरण 4.1.2.7

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 i$

चरण 4.2

$x = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(- 2)}^{2} - 4}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 - 4}$

चरण 4.2.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$\sqrt{0}$

चरण 4.2.2.3

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{0^{2}}$

चरण 4.2.2.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$0$

चरण 4.3

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(2)}^{2} - 4}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 - 4}$

चरण 4.3.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$\sqrt{0}$

चरण 4.3.2.3

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{0^{2}}$

चरण 4.3.2.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$0$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 2, 0), (2, 0)$

चरण 5