कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ और ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ में से ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

चरण 2.2.1.2.4

${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

चरण 2.2.2

$n$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

चरण 2.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

चरण 2.2.3.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

चरण 2.2.4

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

चरण 2.2.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$r = \frac{1}{4}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$n$ के स्थान पर ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

चरण 3.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

चरण 3.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{4^{0}}$

चरण 3.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{1}$

चरण 3.2.5

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$a = 1$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

चरण 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

चरण 5.2.2

जोड़ना.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

चरण 5.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- \frac{1}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

चरण 5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.2

$4^{6}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.5

$4$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.8

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1024}{1024}$ से गुणा करें.

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.9

$4$ और $\frac{1024}{1024}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.11.1

$4$ को $1024$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.11.2

$4096$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

चरण 5.6.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

चरण 5.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 5.8

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$4095$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 5.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 5.8.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1365}{1024}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1365}{1024}$

दशमलव रूप:

$1.33300781 \dots$

मिश्रित संख्या रूप:

$1 \frac{341}{1024}$