कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

चरण 1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

चरण 1.1.2.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

चरण 1.1.2.4.3

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ है.

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.4

${(x^{2} - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.1.3

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.2

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.3

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.3.2

$x$ के लिए ${(x + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.4.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.4.2.4

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.4.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.4.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 1$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1, 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर ${(x^{2} - 1)}^{3}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(0 - 1)}^{3}$

चरण 4.1.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

${(- 1)}^{3}$

चरण 4.1.2.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1$

चरण 4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{3}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

${(1 - 1)}^{3}$

चरण 4.2.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0^{3}$

चरण 4.2.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0$

चरण 4.3

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${({(1)}^{2} - 1)}^{3}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

${(1 - 1)}^{3}$

चरण 4.3.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0^{3}$

चरण 4.3.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

चरण 5