कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.4.3

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.5

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.5.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

चरण 1.1.6

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

चरण 1.1.6.2

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ है.

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{3}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 12 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 12 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

चरण 2.2.1.4

$12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

चरण 2.2.1.5

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

चरण 2.2.1.6

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

चरण 2.2.1.7

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

चरण 2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

चरण 2.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.3

महत्तम समापवर्तक, $x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.2.4

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

चरण 2.2.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

चरण 2.2.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.6

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

चरण 2.2.6.1.2

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

चरण 2.2.6.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

चरण 2.2.6.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

चरण 2.2.6.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2.4

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.6

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

चरण 4.1.2.1.7

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$3$ में से $4$ घटाएं.

$- 1 - 6 + 12 + 1$

चरण 4.1.2.2.2

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$- 7 + 12 + 1$

चरण 4.1.2.2.3

$- 7$ और $12$ जोड़ें.

$5 + 1$

चरण 4.1.2.2.4

$5$ और $1$ जोड़ें.

$6$

चरण 4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.4

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.5

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.6

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

चरण 4.2.2.1.7

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

चरण 4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$3$ और $4$ जोड़ें.

$7 - 6 - 12 + 1$

चरण 4.2.2.2.2

$7$ में से $6$ घटाएं.

$1 - 12 + 1$

चरण 4.2.2.2.3

$1$ में से $12$ घटाएं.

$- 11 + 1$

चरण 4.2.2.2.4

$- 11$ और $1$ जोड़ें.

$- 10$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

चरण 5