कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.1.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ है.

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 1.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.6

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.6.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.10

$1$ में से $4$ घटाएं.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.11

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

चरण 1.1.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

चरण 1.1.3.13

$2 x^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 1.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{x^{3}} + 2$ है.

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

चरण 2.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x^{3}, 1$

चरण 2.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{3}$

चरण 2.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

चरण 2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

चरण 2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 = - 2 x^{3}$

चरण 2.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण को $- 2 x^{3} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x^{3} = 2$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

चरण 2.5.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$- 2 x^{3} - 2$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1.1

$- 2 x^{3}$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

चरण 2.5.3.1.2

$- 2$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

चरण 2.5.3.1.3

$- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

चरण 2.5.3.2

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

चरण 2.5.3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

चरण 2.5.3.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.4.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.4.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

चरण 2.5.3.4.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

चरण 2.5.3.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

चरण 2.5.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

चरण 2.5.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.5.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.5.6

$x^{2} - x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

$x^{2} - x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - x + 1 = 0$

चरण 2.5.6.2

$x$ के लिए $x^{2} - x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5.6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 1$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.3.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.6.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.4.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.6.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.6.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.5.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.6.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.6.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.6.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{2}{x^{3}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 3.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 - \frac{1}{1}$

चरण 4.1.2.1.3

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 - \frac{1}{1}$

चरण 4.1.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 - 1 \cdot 1$

चरण 4.1.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 - 1$

चरण 4.1.2.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$- 3$

चरण 4.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 (0) - \frac{1}{0}$

चरण 4.2.2.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, - 3)$

चरण 5