कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = y - 3$ और $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ है.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.2

$y^{2} - 3 y + 9$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} - 3 y + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ है.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.7

चूंकि $- 3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3 y$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.9

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.10

चूंकि $y$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.2.11

$2 y - 3$ और $0$ जोड़ें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(- y + 3) (2 y - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.3.1.2.1

$y$ ले जाएं.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.2.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.4

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.1.6

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.1.3.2

$3 y$ और $6 y$ जोड़ें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.2

$y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1

$9$ में से $9$ घटाएं.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.2.2

$y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ और $0$ जोड़ें.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.3

$y^{2}$ में से $2 y^{2}$ घटाएं.

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2.4

$- 3 y$ और $9 y$ जोड़ें.

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

$- y^{2} + 6 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$- y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.2

$6 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.3

$y (- y) + y \cdot 6$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

$6$ को $- 1 (- 6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

$- (y) - 1 (- 6)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.7

$- (y - 6)$ को $- 1 (y - 6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.1.3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ है.

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$y (y - 6) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$y (y - 6)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

चरण 2.3.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

चरण 2.3.1.2.2

$- 6$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} - 6 y = 0$

चरण 2.3.2

$y^{2} - 6 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot y - 6 y = 0$

चरण 2.3.2.2

$- 6 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

चरण 2.3.2.3

$y \cdot y + y \cdot - 6$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (y - 6) = 0$

चरण 2.3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$y = 0$

$y - 6 = 0$

चरण 2.3.4

$y$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$y = 0$

चरण 2.3.5

$y - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$y - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$y - 6 = 0$

चरण 2.3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$y = 6$

चरण 2.3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $y (y - 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$y = 0, 6$

चरण 3

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

चरण 3.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

चरण 4