कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $- 10$ से गुणा करें.

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

चरण 1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

चरण 1.1.3.2

$5 x^{4} - 30 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $5 x^{4} - 30 x^{2}$ है.

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$5 u^{2} - 30 u = 0$

चरण 2.2.3

$5 u^{2} - 30 u$ में से $5 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$5 u^{2}$ में से $5 u$ का गुणनखंड करें.

$5 u (u) - 30 u = 0$

चरण 2.2.3.2

$- 30 u$ में से $5 u$ का गुणनखंड करें.

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

चरण 2.2.3.3

$5 u (u) + 5 u (- 6)$ में से $5 u$ का गुणनखंड करें.

$5 u (u - 6) = 0$

चरण 2.2.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

चरण 2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5

$x^{2} - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x^{2} - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $x^{2} - 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x^{2} = 6$

चरण 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

चरण 2.5.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{6}$

चरण 2.5.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{6}$

चरण 2.5.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

चरण 4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 10 \cdot 0 - 8$

चरण 4.1.2.1.3

$- 10$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 - 8$

चरण 4.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 - 8$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ में से $8$ घटाएं.

$- 8$

चरण 4.2

$x = \sqrt{6}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\sqrt{6}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

${\sqrt{6}}^{5}$ को $\sqrt{6^{5}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2.1.2

$6$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2.1.3

$7776$ को $36^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.3.1

$7776$ में से $1296$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2.1.3.2

$1296$ को $36^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2.1.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.2.2.1.5

${\sqrt{6}}^{3}$ को $\sqrt{6^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}} - 8$

चरण 4.2.2.1.6

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216} - 8$

चरण 4.2.2.1.7

$216$ को $6^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.7.1

$216$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)} - 8$

चरण 4.2.2.1.7.2

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6} - 8$

चरण 4.2.2.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6}) - 8$

चरण 4.2.2.1.9

$6$ को $- 10$ से गुणा करें.

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6} - 8$

चरण 4.2.2.2

$36 \sqrt{6}$ में से $60 \sqrt{6}$ घटाएं.

$- 24 \sqrt{6} - 8$

चरण 4.3

$x = - \sqrt{6}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- \sqrt{6}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \sqrt{6}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.3

${\sqrt{6}}^{5}$ को $\sqrt{6^{5}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.4

$6$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.5

$7776$ को $36^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.5.1

$7776$ में से $1296$ का गुणनखंड करें.

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.5.2

$1296$ को $36^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.7

$36$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

चरण 4.3.2.1.8

उत्पाद नियम को $- \sqrt{6}$ पर लागू करें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

चरण 4.3.2.1.9

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

चरण 4.3.2.1.10

${\sqrt{6}}^{3}$ को $\sqrt{6^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}}) - 8$

चरण 4.3.2.1.11

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216}) - 8$

चरण 4.3.2.1.12

$216$ को $6^{2} \cdot 6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.12.1

$216$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)}) - 8$

चरण 4.3.2.1.12.2

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6}) - 8$

चरण 4.3.2.1.13

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6})) - 8$

चरण 4.3.2.1.14

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6}) - 8$

चरण 4.3.2.1.15

$- 6$ को $- 10$ से गुणा करें.

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6} - 8$

चरण 4.3.2.2

$- 36 \sqrt{6}$ और $60 \sqrt{6}$ जोड़ें.

$24 \sqrt{6} - 8$

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, - 8), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6} - 8), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6} - 8)$

चरण 5