कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

चरण 3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

चरण 3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

चरण 3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 5 \cdot 1 + 12 \cdot 1 - 8$

चरण 3.4

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 5 + 12 \cdot 1 - 8$

चरण 3.5

$1$ में से $5$ घटाएं.

$- 4 + 12 \cdot 1 - 8$

चरण 3.6

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 + 12 - 8$

चरण 3.7

$- 4$ और $12$ जोड़ें.

$8 - 8$

चरण 3.8

$8$ में से $8$ घटाएं.

$0$

चरण 4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8}{x - 1}$

चरण 5

$x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$12 x$

$8$

चरण 5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

चरण 5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 5.7

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

चरण 5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

चरण 5.10

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

चरण 5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

चरण 5.12

भाज्य $8 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

चरण 5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							+	$8 x$	-	$8$

चरण 5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $8 x - 8$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$

चरण 5.15

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$
										$0$

चरण 5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 4 x + 8$

चरण 6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ लिखें.

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 8)$