कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

चरण 1

एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $\frac{a}{1 - r}$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 144$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.2

${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ और ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ में से ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

चरण 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

चरण 2.2.3

$n$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

चरण 2.2.5

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

चरण 2.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$r = \frac{1}{2}$

चरण 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

चरण 4

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$n$ के स्थान पर $(- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{0}$

चरण 4.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$a = - 144 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

चरण 4.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = - 144 \frac{1}{2^{0}}$

चरण 4.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

चरण 4.2.5

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

चरण 4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a = - 144 \cdot 1$

चरण 4.2.6

$- 144$ को $1$ से गुणा करें.

$a = - 144$

चरण 5

योग सूत्र में अनुपात और प्रथम पद के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 144}{1 - \frac{1}{2}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{- 144}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 6.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 144}{\frac{2 - 1}{2}}$

चरण 6.1.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 144}{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- 144 \cdot 2$

चरण 6.3

$- 144$ को $2$ से गुणा करें.

$- 288$