कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 x - 5)$ , $x = 0$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 5 x^{2} - 5 x - 2$ और $g (x) = - 4 x - 5$ है.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 4 x - 5] + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.2

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + 0) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 2.6.1

$- 4$ और $0$ जोड़ें.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \cdot - 4 + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.6.2

$- 4$ को $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 4 \cdot (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.8

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.10

$2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.11

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.12

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.13

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

चरण 2.14

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + 0)$

चरण 2.15

$- 10 x - 5$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.5.1

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$20 x^{2} - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.2

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.3

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.4

$- 10$ को $- 4$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x \cdot x - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{1 + 1} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.9

$- 10$ को $- 5$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.10

$- 5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x - 5 \cdot - 5$

चरण 3.5.11

$- 5$ को $- 5$ से गुणा करें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x + 25$

चरण 3.5.12

$50 x$ और $20 x$ जोड़ें.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 70 x + 25$

चरण 3.5.13

$20 x^{2}$ और $40 x^{2}$ जोड़ें.

$60 x^{2} + 20 x + 8 + 70 x + 25$

चरण 3.5.14

$20 x$ और $70 x$ जोड़ें.

$60 x^{2} + 90 x + 8 + 25$

चरण 3.5.15

$8$ और $25$ जोड़ें.

$60 x^{2} + 90 x + 33$

चरण 4

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$60 {(0)}^{2} + 90 (0) + 33$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 5.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$60 \cdot 0 + 90 (0) + 33$

चरण 5.1.2

$60$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 90 (0) + 33$

चरण 5.1.3

$90$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 33$

चरण 5.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

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चरण 5.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 33$

चरण 5.2.2

$0$ और $33$ जोड़ें.

$33$