कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.1

अवकलन करें.

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चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ है.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

चरण 1.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ है.

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चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ के रूप में सेट करें.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

चरण 1.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

चरण 1.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ से बदलें.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

चरण 1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ है.

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चरण 1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 3 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

चरण 1.2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 3 x + 3$ से बदलें.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

चरण 1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 3 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

चरण 1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

चरण 1.2.6

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

चरण 1.2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

चरण 1.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

चरण 1.2.9

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

चरण 1.2.10

$2 x - 3$ और $0$ जोड़ें.

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

चरण 1.2.11

$3$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ को मिलाएं.

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

चरण 1.2.12

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ और $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ को मिलाएं.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

चरण 1.2.13

$3$ को ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

चरण 1.2.14

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ और ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 1.2.14.1

$3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ में से ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

चरण 1.2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 1.2.14.2.1

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ में से ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

चरण 1.2.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

चरण 1.2.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ में से $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ घटाएं.

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

चरण 1.3.2

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.5

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.6

$- 2 x + 3$ को $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.7

$3$ को $- 2 x + 3$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.8

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.9

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.10

$- (2 x) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.11

$- (2 x - 3)$ को $- 1 (2 x - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 1.3.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

चरण 2

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

चरण 3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

चरण 3.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

चरण 4

भाजक को सरल करें.

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चरण 4.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

चरण 4.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

चरण 4.3

$4$ में से $6$ घटाएं.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

चरण 4.4

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

चरण 5.2

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

चरण 5.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 3$