कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 4$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.1.2

$3 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.1.3

$- 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.1.4

$x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.1.5

$x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2

$x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.4

$x$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.5

$x$ और $- 2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.6

$3$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.9

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.2.12

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

चरण 6.4

भाज्य $x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

चरण 6.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

चरण 6.9

भाज्य $3 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

चरण 6.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

चरण 6.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

चरण 6.12

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

चरण 6.13

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

चरण 6.14

भाज्य $- \frac{x^{2}}{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

चरण 6.15

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

चरण 6.16

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

चरण 6.17

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

चरण 6.18

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

चरण 6.19

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

चरण 8