कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = 1 - x$ है.

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.5

$1 - x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.10.2

$1 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.11

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.12

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$1 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.12.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.12.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.12.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.4.1

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 1.2.12.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ को ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = - x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x + 1$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x + 1$ से बदलें.

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.4

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

चरण 2.3.7.2

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2

$4$ और $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ को ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = - x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x + 1$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x + 1$ से बदलें.

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3.4

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

चरण 3.3.7.2

$- 1$ को $- 12$ से गुणा करें.

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

चरण 3.4.2

$12$ और $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ है.

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

चरण 4.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ को ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

चरण 4.1.2.2

घातांक को ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 4}$ और $g (x) = - x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x + 1$ के रूप में सेट करें.

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 4$ है.

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x + 1$ से बदलें.

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 4.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 4$ को $12$ से गुणा करें.

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.4

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 4.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

चरण 4.3.7.2

$- 1$ को $- 48$ से गुणा करें.

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

चरण 4.4.2

$48$ और $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$