कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $x^{2} e^{2 x}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{2 x}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} e^{2 x}$ को $\frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$

चरण 3.2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

चरण 3.2.1.2

सम घात वाले बहुपद की ऋणात्मक अनंत का लिमिट जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

चरण 3.2.1.3

चूँकि घातांक $- 2 x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- 2 x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 3.2.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 3.2.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.2.3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.2.3.4

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

चरण 3.2.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

चरण 3.2.3.6

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

चरण 3.2.3.7

$- 2$ को $e^{- 2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

चरण 3.2.4

$2$ और $- 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{- 2 e^{- 2 x}}$

चरण 3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$- 2 e^{- 2 x}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{2 (- e^{- 2 x})}$

चरण 3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 (- e^{- 2 x})}$

चरण 3.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{- 2 x}}$

चरण 3.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x}{e^{- 2 x}}$

चरण 3.3

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}}$

चरण 3.4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$- \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

चरण 3.4.1.2

विषम घात वाले बहुपद की ऋणात्मक अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, ऋणात्मक अनंत है.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

चरण 3.4.1.3

$- \frac{- \infty}{\infty}$

चरण 3.4.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$- \frac{- \infty}{\infty}$

चरण 3.4.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.4.3.2

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

चरण 3.4.3.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.4.3.3.2

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.4.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

चरण 3.4.3.4

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.4.3.5

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

चरण 3.4.3.6

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

चरण 3.4.3.7

$- 2$ को $e^{- 2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2 e^{- 2 x}}$

चरण 3.5

$\frac{1}{- 2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

चरण 3.6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$- \frac{1}{- 2} \cdot 0$

चरण 3.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 3.7.2

$- - \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

चरण 3.7.2.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 3.7.3

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 0$

चरण 5

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं है क्योंकि न्यूमेरेटर की डिग्री भाजक की डिग्री से कम या उसके बराबर है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 0$

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 7