कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

चरण 1

आयाम, अवधि, चरण बदलाव और ऊर्ध्वाधर बदलाव को पता करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले चर को पता करने के लिए रूप $a \sin (b x - c) + d$ का प्रयोग करें.

$a = 3$

$b = 2$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

चरण 2

आयाम $| a |$ पता करें.

आयाम: $3$

चरण 3

$3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 3.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 4

सूत्र $\frac{c}{b}$ का उपयोग करके चरण बदलाव पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

फलन के चरण बदलाव की गणना $\frac{c}{b}$ से की जा सकती है.

चरण बदलाव: $\frac{c}{b}$

चरण 4.2

चरण बदलाव के समीकरण में $c$ और $b$ के मान बदलें.

चरण बदलाव: $\frac{\frac{π}{3}}{2}$

चरण 4.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 4.4

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$\frac{π}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{3 \cdot 2}$

चरण 4.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{6}$

चरण 5

त्रिकोणमितीय फलन के गुणों की सूची बनाइए.

आयाम: $3$

आवर्त: $π$

चरण बदलाव: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ दाईं ओर)

ऊर्ध्वाधर बदलाव: कोई नहीं

चरण 6

ग्राफ़ के लिए कुछ बिंदुओं का चयन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x = \frac{π}{6}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{6}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.1.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.1.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

चरण 6.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (\frac{π - π}{3})$

चरण 6.1.2.3

$π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (\frac{0}{3})$

चरण 6.1.2.4

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \sin (0)$

चरण 6.1.2.5

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cdot 0$

चरण 6.1.2.6

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{6}) = 0$

चरण 6.1.2.7

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6.2

$x = \frac{5 π}{12}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{12}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{5 π}{12}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3})$

चरण 6.2.2.2

$- \frac{π}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

चरण 6.2.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.1

$\frac{π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

चरण 6.2.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

चरण 6.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

चरण 6.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6})$

चरण 6.2.2.5.2

$5 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 π}{6})$

चरण 6.2.2.6

$3$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.6.1

$3 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 (π)}{6})$

चरण 6.2.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

चरण 6.2.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

चरण 6.2.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 6.2.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cdot 1$

चरण 6.2.2.8

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{12}) = 3$

चरण 6.2.2.9

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 6.3

$x = \frac{2 π}{3}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (2 (\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$2$ और $\frac{2 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{3} - \frac{π}{3})$

चरण 6.3.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3})$

चरण 6.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (\frac{4 π - π}{3})$

चरण 6.3.2.3

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (\frac{3 π}{3})$

चरण 6.3.2.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (\frac{3 π}{3})$

चरण 6.3.2.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (π)$

चरण 6.3.2.5

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \sin (0)$

चरण 6.3.2.6

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cdot 0$

चरण 6.3.2.7

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

चरण 6.3.2.8

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6.4

$x = \frac{11 π}{12}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{11 π}{12}$ से बदलें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.4.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.4.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3})$

चरण 6.4.2.2

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

चरण 6.4.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.3.1

$\frac{π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

चरण 6.4.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

चरण 6.4.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

चरण 6.4.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6})$

चरण 6.4.2.5.2

$11 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{9 π}{6})$

चरण 6.4.2.6

$9$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.6.1

$9 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

चरण 6.4.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

चरण 6.4.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

चरण 6.4.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 6.4.2.7

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 6.4.2.8

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 6.4.2.9

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.9.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 \cdot - 1$

चरण 6.4.2.9.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{11 π}{12}) = - 3$

चरण 6.4.2.10

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 6.5

$x = \frac{7 π}{6}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{7 π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{7 π}{6}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (3)}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.5.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}) - \frac{π}{3})$

चरण 6.5.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3})$

चरण 6.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{7 π - π}{3})$

चरण 6.5.2.3

$7 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{6 π}{3})$

चरण 6.5.2.4

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.4.1

$6 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{3 (2 π)}{3})$

चरण 6.5.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.4.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

चरण 6.5.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

चरण 6.5.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

चरण 6.5.2.4.2.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (2 π)$

चरण 6.5.2.5

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin (0)$

चरण 6.5.2.6

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \cdot 0$

चरण 6.5.2.7

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{6}) = 0$

चरण 6.5.2.8

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6.6

एक तालिका में मुद्दों की सूची बनाएंं.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{5 π}{12} & 3 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{11 π}{12} & - 3 \\ \frac{7 π}{6} & 0 \end{array}$

चरण 7

त्रिकोणमितीय फलन को आयाम, अवधि, चरण बदलाव, ऊर्ध्वाधर बदलाव और बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

आयाम: $3$

आवर्त: $π$

चरण बदलाव: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ दाईं ओर)

ऊर्ध्वाधर बदलाव: कोई नहीं

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{5 π}{12} & 3 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{11 π}{12} & - 3 \\ \frac{7 π}{6} & 0 \end{array}$

चरण 8