कैलकुलस उदाहरण

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{7}$ और $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ है.

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{3}$ और $g (t) = t^{5} - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t^{5} - 6$ के रूप में सेट करें.

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t^{5} - 6$ से बदलें.

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{5} - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ है.

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.3.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$5 t^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.3.4.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $t^{7}$ को $t^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$t^{4}$ ले जाएं.

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.4.3

$4$ और $7$ जोड़ें.

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

चरण 3.6

$7$ को ${(t^{5} - 6)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ में से $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ में से $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

चरण 3.7.1.2

$7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ में से $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.1.3

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ में से $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.2

$15$ को $t^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.3

${(t^{5} - 6)}^{2}$ को $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.5.1.1

घातांक जोड़कर $t^{5}$ को $t^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.5.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.5.1.1.2

$5$ और $5$ जोड़ें.

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.5.1.2

$- 6$ को $t^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.5.1.3

$- 6$ को $- 6$ से गुणा करें.

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.5.2

$- 6 t^{5}$ में से $6 t^{5}$ घटाएं.

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.7.1

घातांक जोड़कर $t^{6}$ को $t^{10}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.7.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.7.1.2

$6$ और $10$ जोड़ें.

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.7.3

$36$ को $t^{6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.8

घातांक जोड़कर $t^{6}$ को $t^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.8.1

$t^{5}$ ले जाएं.

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.8.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.8.3

$5$ और $6$ जोड़ें.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

चरण 3.7.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

चरण 3.7.9.2

$7$ को $- 6$ से गुणा करें.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

चरण 3.7.10

$15 t^{5}$ और $7 t^{5}$ जोड़ें.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

चरण 3.7.11

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ का प्रसार करें.

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.12.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.2

घातांक जोड़कर $t^{16}$ को $t^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.12.2.1

$t^{5}$ ले जाएं.

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.2.3

$5$ और $16$ जोड़ें.

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.3

$- 42$ को $t^{16}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.5

घातांक जोड़कर $t^{11}$ को $t^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.12.5.1

$t^{5}$ ले जाएं.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.5.3

$5$ और $11$ जोड़ें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.6

$- 12$ को $22$ से गुणा करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.7

$- 42$ को $- 12$ से गुणा करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.9

घातांक जोड़कर $t^{6}$ को $t^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.12.9.1

$t^{5}$ ले जाएं.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.9.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.9.3

$5$ और $6$ जोड़ें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.10

$36$ को $22$ से गुणा करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

चरण 3.7.12.11

$- 42$ को $36$ से गुणा करें.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

चरण 3.7.13

$- 42 t^{16}$ में से $264 t^{16}$ घटाएं.

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

चरण 3.7.14

$504 t^{11}$ और $792 t^{11}$ जोड़ें.

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$