कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3} y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ है.

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 2.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6

$2$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

चरण 2.2.7

$3$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

चरण 2.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

चरण 2.3.2.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ है.

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 - (4 y^{3} y')$

चरण 3.2.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 - 4 y^{3} y'$

चरण 3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 y^{3} y' + 1$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4 y^{3} y'$ जोड़ें.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x^{3}$ घटाएं.

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

चरण 5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $9 x^{2} y^{2}$ घटाएं.

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

चरण 5.3

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$6 x^{3} y y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

चरण 5.3.2

$4 y^{3} y'$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

चरण 5.3.3

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ में से $2 y y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

चरण 5.4

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2.3

$3 x^{3} + 2 y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.1

$- 4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.2.1

$2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.3

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.1

$- 9 x^{2} y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.2.1

$2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

चरण 5.4.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

चरण 5.4.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$