कैलकुलस उदाहरण

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} 2 (x + h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.1.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\tan (2 lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.1.4

$\frac{\tan (2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.1.5

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.1.6

$\tan (2 x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\tan (2 (x + lim_{h \to 0} h)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.3

$\tan (2 (x + 0)) - \tan (2 x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\tan (2 x) - \tan (2 x)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.3.2

$\tan (2 x)$ में से $\tan (2 x)$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $\tan (2 (x + h)) - \tan (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\tan (2 (x + h))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ $f' (g (h)) g' (h)$ है, जहाँ $f (h) = \tan (h)$ और $g (h) = 2 (x + h)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 (x + h)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 (x + h)$ से बदलें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \frac{d}{d h} [2 (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.2

चूंकि $2$ , $h$ के संबंध में स्थिर है, $h$ के संबंध में $2 (x + h)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d h} [x + h]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.3

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.4

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ $n h^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (2 (x + h)) \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.8

$2$ को $\sec^{2} (2 (x + h))$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + \frac{d}{d h} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.4

चूंकि $h$ के संबंध में $- \tan (2 x)$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $- \tan (2 x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 (x + h)) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5.2

$2 \sec^{2} (2 x + 2 h)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sec^{2} (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (2 x + 2 h)$ को फिर से लिखें.

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5.4

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (2 x + 2 h)}$ पर लागू करें.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5.6

$2$ और $\frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ को मिलाएं.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.6

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}}{1}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)} \cdot 1$

चरण 1.5

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 h)}$

चरण 2.2

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

चरण 2.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (2 x + 2 h)}$

चरण 2.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\cos^{2} (2 x + 2 h)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$2 \frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (2 x + 2 h))}^{2}}$

चरण 2.5

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}$

चरण 2.6

$2 \frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

चरण 2.7

$2 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}$

चरण 2.8

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}$

चरण 3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$

चरण 4.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x + 2 \cdot 0)}$ को ${(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)})}^{2}$

चरण 4.3

$\frac{1}{\cos (2 x + 2 \cdot 0)}$ को $\sec (2 x + 2 \cdot 0)$ में बदलें.

$2 \sec^{2} (2 x + 2 \cdot 0)$

चरण 4.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \sec^{2} (2 x + 0)$

चरण 4.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \sec^{2} (2 x)$