कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(2 x - 9)}^{4}$ और $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ है.

${(2 x - 9)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x^{2} + x + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2} + x + 1$ के रूप में सेट करें.

${(2 x - 9)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

${(2 x - 9)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + x + 1$ से बदलें.

${(2 x - 9)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$5$ को ${(2 x - 9)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \cdot {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 3.6

$2 x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 2 x - 9$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x - 9$ के रूप में सेट करें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x - 9$ से बदलें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

$4$ को ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 5.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 5.4

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 5.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

चरण 5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + 0)$

चरण 5.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \cdot 2$

चरण 5.7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ में से ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

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चरण 6.1.1

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ में से ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

चरण 6.1.2

$8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ में से ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

चरण 6.1.3

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ में से ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

चरण 6.2

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 9)}^{3} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$