कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

जैसे-जैसे $x$ $\frac{π}{4}$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.4.2

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.5.3

$\sqrt{2}$ में से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.2.5.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

चरण 1.1.3.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

चरण 1.1.3.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\frac{π}{4}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 1.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.4.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.4.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.4.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

चरण 1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\tan (x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 1.3.6

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

चरण 1.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.8.1

$\sec^{2} (x)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

चरण 1.3.8.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

चरण 1.3.8.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (x)}$ पर लागू करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

चरण 1.3.8.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

जैसे ही $x$ $\frac{π}{4}$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

चरण 2.2

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

चरण 2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

चरण 2.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

चरण 2.5

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\cos^{2} (x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

चरण 2.6

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

चरण 3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

चरण 3.2

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

चरण 3.3

$x$ के लिए $\frac{π}{4}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.3

$\sqrt{2}$ और $\sqrt{2}$ जोड़ें.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.4.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

चरण 4.5

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

चरण 4.6

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 4.7

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 4.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 4.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 4.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 4.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

चरण 4.7.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

चरण 4.8

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

चरण 4.9

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

चरण 4.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 4.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 4.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 4.10

$\sqrt{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

दशमलव रूप:

$0.70710678 \dots$