कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

चरण 1

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

चरण 2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.2

$t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ में से $t^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.2.2

$t^{2}$ में से $t^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.2.3

$t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ में से $t^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.3

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.4

$t^{\frac{3}{2}}$ को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 1$ और $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6.2

$- 1 t^{\frac{1}{2}}$ को $- t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6.3

घातांक को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.1.6.4

सरल करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{9 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{9 t - t^{2}}$

चरण 2.2

$9 t - t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$9 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 - t^{2}}$

चरण 2.2.2

$- t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 + t (- t)}$

चरण 2.2.3

$t \cdot 9 + t (- t)$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t)}$

चरण 2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $t^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 2.4

घातांक जोड़कर $t$ को $t^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (9 - t)}$

चरण 2.4.2

$t^{- \frac{1}{2}}$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (9 - t)}$

चरण 2.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (9 - t)}$

चरण 2.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (9 - t)}$

चरण 2.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (9 - t)}$

चरण 2.4.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (9 - t)}$