कैलकुलस उदाहरण

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $θ$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.2

जैसे ही $θ$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.4

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.5

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.6

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.1.7

$\frac{1}{2}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.2

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.3.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.2.3.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

चरण 1.1.3.2

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\sin (0)}$

चरण 1.1.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ को ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = θ^{- 1}$ और $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 + \sin (θ)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 + \sin (θ)$ से बदलें.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.3

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $2 + \sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.4

चूंकि $θ$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.5

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.3.6

$0$ और $\cos (θ)$ जोड़ें.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.4

चूंकि $θ$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.2.1

$\cos (θ)$ और $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.5.2.2

$- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 1.3.6

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

चरण 1.5

$\frac{1}{\cos (θ)}$ को $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ से गुणा करें.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 1.6

$\cos (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $θ$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.2

जैसे ही $θ$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.5

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.6

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

चरण 2.7

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

चरण 3

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

चरण 4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

चरण 4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2^{2}}$

चरण 4.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{4}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$- 0.25$