कैलकुलस उदाहरण

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

चरण 1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

चरण 1.2.2

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

चरण 1.2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

चरण 1.3

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

चरण 3.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\cos (θ)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

चरण 4.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

चरण 5

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\cos (0)$

चरण 6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1$