कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

चरण 1.3.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.3.7

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\cos (2 x)$ को $1 - 2 \sin^{2} (x)$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 4.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

चरण 5

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 2 \sin (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

चरण 5.1.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

चरण 5.1.3

$- 4 \sin^{2} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 5.1.4

$2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 5.1.5

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

चरण 5.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$- \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.2

$- 1$ को $1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.4

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

चरण 5.2.1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

चरण 5.2.1.4

महत्तम समापवर्तक, $- 2 \sin (x) + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

चरण 5.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

चरण 7

$- 2 \sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 2 \sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 2 \sin (x) = - 1$

चरण 7.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

चरण 7.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 7.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 7.2.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.6

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 7.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 7.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 7.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 7.2.7

समीकरण का हल $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

चरण 8

$\sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sin (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) + 1 = 0$

चरण 8.2

$x$ के लिए $\sin (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\sin (x) = - 1$

चरण 8.2.2

$x = \arcsin (- 1)$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 8.2.4

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 8.2.5

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 8.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 8.2.6

समीकरण का हल $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

चरण 10

$x = \frac{π}{6}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11.1.3

$- 1 \sqrt{3}$ को $- \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 11.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

चरण 11.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

चरण 11.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 11.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.6.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 11.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

चरण 11.2

$- \sqrt{3}$ में से $2 \sqrt{3}$ घटाएं.

$- 3 \sqrt{3}$

चरण 12

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 13

$x = \frac{π}{6}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 13.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 13.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

चरण 13.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.3.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

चरण 13.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

चरण 13.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.2

$\sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.4.1

$2$ को $\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.4.2

$2 \sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$ जोड़ें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 13.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 14

$x = \frac{5 π}{6}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.5

$\sqrt{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 15.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.6.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

चरण 15.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

चरण 15.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 15.1.7

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

चरण 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 15.1.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.9.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 15.1.9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

चरण 15.1.10

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

चरण 15.2

$\sqrt{3}$ और $2 \sqrt{3}$ जोड़ें.

$3 \sqrt{3}$

चरण 16

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 17

$x = \frac{5 π}{6}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

चरण 17.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

चरण 17.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

चरण 17.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

चरण 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

चरण 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.2

$- \sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.4.2

$- 2 \sqrt{3}$ में से $\sqrt{3}$ घटाएं.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ है.

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

चरण 18

$x = - \frac{π}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

चरण 19

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

चरण 19.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

चरण 19.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

चरण 19.1.4

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

चरण 19.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.5.1

$- \frac{π}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

चरण 19.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

चरण 19.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 - 4 \sin (- π)$

चरण 19.1.6

$0 - 4 \sin (0)$

चरण 19.1.7

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$0 - 4 \cdot 0$

चरण 19.1.8

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0$

चरण 19.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 20

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

चरण 20.2

पहले व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(- \infty, - \frac{π}{2})$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

चरण 20.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.1.1

$\sin (- 4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

चरण 20.2.2.1.2

$- 2$ को $0.75680249$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

चरण 20.2.2.1.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

चरण 20.2.2.1.4

$\cos (- 8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

चरण 20.2.2.1.5

$2$ को $- 0.14550003$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

चरण 20.2.2.2

$- 1.51360499$ में से $0.29100006$ घटाएं.

$f' (- 4) = - 1.80460505$

चरण 20.2.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.80460505$ है.

$- 1.80460505$

चरण 20.3

पहले व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

चरण 20.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.2.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

चरण 20.3.2.1.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

चरण 20.3.2.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

चरण 20.3.2.1.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

चरण 20.3.2.1.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 2$

चरण 20.3.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$f' (0) = 2$

चरण 20.3.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 20.4

पहले व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

चरण 20.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.2.1.1

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

चरण 20.4.2.1.2

$- 2$ को $0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

चरण 20.4.2.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

चरण 20.4.2.1.4

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

चरण 20.4.2.1.5

$2$ को $- 0.65364362$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

चरण 20.4.2.2

$- 1.81859485$ में से $1.30728724$ घटाएं.

$f' (2) = - 3.12588209$

चरण 20.4.2.3

अंतिम उत्तर $- 3.12588209$ है.

$- 3.12588209$

चरण 20.5

पहले व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ से कोई भी संख्या, जैसे $4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

चरण 20.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.2.1.1

$\sin (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

चरण 20.5.2.1.2

$- 2$ को $- 0.75680249$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

चरण 20.5.2.1.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

चरण 20.5.2.1.4

$\cos (8)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

चरण 20.5.2.1.5

$2$ को $- 0.14550003$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

चरण 20.5.2.2

$1.51360499$ में से $0.29100006$ घटाएं.

$f' (4) = 1.22260492$

चरण 20.5.2.3

अंतिम उत्तर $1.22260492$ है.

$1.22260492$

चरण 20.6

पहले व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $7$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.1

व्यंजक में चर $x$ को $7$ से बदलें.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

चरण 20.6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.2.1.1

$\sin (7)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

चरण 20.6.2.1.2

$- 2$ को $0.65698659$ से गुणा करें.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

चरण 20.6.2.1.3

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

चरण 20.6.2.1.4

$\cos (14)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

चरण 20.6.2.1.5

$2$ को $0.13673721$ से गुणा करें.

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

चरण 20.6.2.2

$- 1.31397319$ और $0.27347443$ जोड़ें.

$f' (7) = - 1.04049876$

चरण 20.6.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.04049876$ है.

$- 1.04049876$

चरण 20.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = - \frac{π}{2}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = - \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = - \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 20.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = \frac{π}{6}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 20.9

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = \frac{5 π}{6}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 20.10

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = \frac{3 π}{2}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{3 π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{3 π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 20.11

ये $f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = - \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{3 π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = - \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{π}{6}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = \frac{5 π}{6}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{3 π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 21