कैलकुलस उदाहरण

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2\sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ है.

चूंकि ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -\cos \left(2x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[\cos \left(2x\right)\right]}$ है.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=2x}$ है.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2x}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -2}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2\cos \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2\sin \left(2x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\sin \left(2x\right)\right]}$ है.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=2x}$ है.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2x}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle \cos \left(2x\right)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

कोज्या के अंदर से ${\displaystyle x}$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को ${\displaystyle 2\pi }$ से घटाएं.

${\displaystyle 2\pi -\frac{\pi }{2}}$ को सरल करें.

समीकरण का हल ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$.

समीकरण के दोनों पक्षों से ${\displaystyle 1}$ घटाएं.

${\displaystyle 2\sin \left(x\right)=-1}$ के प्रत्येक पद को ${\displaystyle 2}$ से भाग दें और सरल करें.

ज्या के अंदर से ${\displaystyle x}$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को ${\displaystyle 2\pi }$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को ${\displaystyle \pi }$ में जोड़ें.

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

समीकरण का हल ${\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}}$.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -2}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle 4(-1\cdot 1)}$ गुणा करें.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle 2}$ और ${\displaystyle 1}$ जोड़ें.

अंतिम उत्तर ${\displaystyle 3}$ है.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -2(-1\cdot 1)}$ गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle 4(-1\cdot 1)}$ गुणा करें.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle -2}$ और ${\displaystyle 1}$ जोड़ें.

अंतिम उत्तर ${\displaystyle -1}$ है.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle -1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

न्यूमेरेटर को सरल करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

अंतिम उत्तर ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$ है.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.