कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \frac{32}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

चरण 1.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{32}{x}$ का व्युत्पन्न $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 - 32 (- x^{- 2})$

चरण 1.3.4

$- 1$ को $- 32$ से गुणा करें.

$2 + 32 x^{- 2}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.4.2

$32$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

चरण 1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{32}{x^{2}} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{32}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ है.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.5

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.2.10

$- 2$ को $32$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 64$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

चरण 2.4.2.3

$- \frac{64}{x^{3}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6