कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

चरण 1.2.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{6}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ है.

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.4

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

चरण 1.3.5

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

चरण 1.3.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

चरण 1.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

चरण 1.3.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

चरण 1.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

चरण 1.3.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

चरण 1.3.10

$- 2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$4 x + 12 x^{- 3}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

चरण 1.4.2

$12$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

चरण 2.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{12}{x^{3}}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ है.

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ को ${(x^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

चरण 2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

चरण 2.3.3.2

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

चरण 2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

चरण 2.3.5

घातांक को ${(x^{3})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

चरण 2.3.5.2

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

चरण 2.3.6

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

चरण 2.3.7

घातांक जोड़कर $x^{- 6}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

चरण 2.3.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

चरण 2.3.7.3

$2$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

चरण 2.3.8

$- 3$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

चरण 2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$- 36$ और $\frac{1}{x^{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

चरण 2.5.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6