कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 6 \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$12 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 \cos (2 x) \cdot 1$

चरण 1.3.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$12 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 12 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.3.3

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 24 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = - 24 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 2.3.5

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 24 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$12 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

$12 \cos (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$12 \cos (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 \cos (2 x)}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 \cos (2 x)}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 4.2.1.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = \frac{0}{12}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $12$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = 0$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x = \frac{π}{2}$

चरण 7

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 7.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 7.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 7.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 8

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 9.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 9.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 9.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 9.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 9.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 9.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 9.2.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 10

समीकरण का हल $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

चरण 11

$x = \frac{π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 24 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 24 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

चरण 12.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 24 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 12.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 24 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 24 \cdot 1$

चरण 12.3

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$- 24$

चरण 13

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$x = \frac{π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

चरण 14.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

चरण 14.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{4}) = 6 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 14.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{4}) = 6 \cdot 1$

चरण 14.2.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 6$

चरण 14.2.4

अंतिम उत्तर $6$ है.

$y = 6$

चरण 15

$x = \frac{3 π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 24 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 24 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

चरण 16.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 24 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

चरण 16.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 24 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 16.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 24 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 16.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 24 (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.4

$- 24 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 24 \cdot - 1$

चरण 16.4.2

$- 24$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24$

चरण 17

$x = \frac{3 π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3 π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$x = \frac{3 π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

चरण 18.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

चरण 18.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 18.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 18.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 (- 1 \cdot 1)$

चरण 18.2.4

$6 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = 6 \cdot - 1$

चरण 18.2.4.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 6$

चरण 18.2.5

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$y = - 6$

चरण 19

ये $f (x) = 6 \sin (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{4}, 6)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{3 π}{4}, - 6)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20