कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $64 x^{3} - 12 x + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 x^{3}$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.2.3

$3$ को $64$ से गुणा करें.

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.3.3

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$192 x^{2} - 12 + 0$

चरण 1.4.2

$192 x^{2} - 12$ और $0$ जोड़ें.

$192 x^{2} - 12$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $192 x^{2} - 12$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $192$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $192 x^{2}$ का व्युत्पन्न $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

चरण 2.2.3

$2$ को $192$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 12$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 384 x + 0$

चरण 2.3.2

$384 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 384 x$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$192 x^{2} - 12 = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.2.2

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.2.3

$3$ को $64$ से गुणा करें.

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.3.2

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.3.3

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

चरण 4.1.4.2

$192 x^{2} - 12$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $192 x^{2} - 12$ है.

$192 x^{2} - 12$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $192 x^{2} - 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$192 x^{2} - 12 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $12$ जोड़ें.

$192 x^{2} = 12$

चरण 5.3

$192 x^{2} = 12$ के प्रत्येक पद को $192$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$192 x^{2} = 12$ के प्रत्येक पद को $192$ से विभाजित करें.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$192$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

चरण 5.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{12}{192}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$12$ और $192$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

चरण 5.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.2.1

$192$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

चरण 5.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

चरण 5.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

चरण 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

चरण 5.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$\sqrt{\frac{1}{16}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

चरण 5.5.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

चरण 5.5.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

चरण 5.5.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{1}{4}$

चरण 5.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{1}{4}$

चरण 5.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{1}{4}$

चरण 5.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

चरण 8

$x = \frac{1}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$384 (\frac{1}{4})$

चरण 9

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$384$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (96) \frac{1}{4}$

चरण 9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

चरण 9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$96$

चरण 10

$x = \frac{1}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{1}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{1}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.3

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.4

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.5.1

$- 12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

चरण 11.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

चरण 11.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

चरण 11.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

चरण 11.2.2.2

$- 2$ और $8$ जोड़ें.

$f (\frac{1}{4}) = 6$

चरण 11.2.3

अंतिम उत्तर $6$ है.

$y = 6$

चरण 12

$x = - \frac{1}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$384 (- \frac{1}{4})$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$- \frac{1}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$384 (\frac{- 1}{4})$

चरण 13.1.2

$384$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

चरण 13.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

चरण 13.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$96 \cdot - 1$

चरण 13.2

$96$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 96$

चरण 14

$x = - \frac{1}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - \frac{1}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = - \frac{1}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{4}$ से बदलें.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.4

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.5

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.5.1

$- \frac{1}{64}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.6

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.6.1

$- \frac{1}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.6.2

$- 12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

चरण 15.2.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

चरण 15.2.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

चरण 15.2.1.7

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

चरण 15.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.2.1

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

चरण 15.2.2.2

$2$ और $8$ जोड़ें.

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

चरण 15.2.3

अंतिम उत्तर $10$ है.

$y = 10$

चरण 16

ये $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{1}{4}, 6)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(- \frac{1}{4}, 10)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 17