कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + \cos (2 x + 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

चरण 1.2.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.4

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

चरण 1.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

चरण 1.3.7

$2$ और $0$ जोड़ें.

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

चरण 1.3.8

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (2 x + 1)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

चरण 2.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

चरण 2.2.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

चरण 2.2.5

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

चरण 2.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

चरण 2.2.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

चरण 2.2.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

चरण 2.2.9

$2$ को $\cos (2 x + 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

चरण 2.2.10

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

चरण 2.3

$0$ में से $4 \cos (2 x + 1)$ घटाएं.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

चरण 5

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.2.1.2

$\sin (2 x + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

चरण 6

ज्या का परिसर $- 1 \leq y \leq 1$ है. चूंकि $\frac{5}{2}$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 7

$x =$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \cos (2 + 1)$

चरण 8

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- 4 \cos (3)$

चरण 8.2

$\cos (3)$ का मान ज्ञात करें.

$- 4 \cdot 0.99862953$

चरण 8.3

$- 4$ को $0.99862953$ से गुणा करें.

$- 3.99451813$

चरण 9

$x =$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x =$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10

ये $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 11