कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x^{4}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2

$x^{4}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.2.2.5

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

चरण 1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3} \ln (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.5

$x^{3}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.2.6.2.5

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

चरण 2.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

चरण 2.3.2.2

$3 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x^{4}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2

$x^{4}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.2.2.5

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 4.1.3.3

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

चरण 4.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ है.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

चरण 5.3

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ के प्रत्येक पद को $4 x^{3}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ के प्रत्येक पद को $4 x^{3}$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.2.2

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

चरण 5.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

चरण 5.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

चरण 5.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

चरण 5.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

चरण 5.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

समीकरण को $x = e^{- \frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

चरण 5.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

चरण 8

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$7 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ पर लागू करें.

$7 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$7 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.3

घातांक को ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.4

$7$ और $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ पर लागू करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.7

घातांक को ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.8

$12$ और $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 9.1.9

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{\frac{1}{4}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

चरण 9.1.10

$- \frac{1}{4}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ का प्रसार करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \ln (e))$

चरण 9.1.11

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

चरण 9.1.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4})$

चरण 9.1.13

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.13.1

$- \frac{1}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

चरण 9.1.13.2

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (3)}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

चरण 9.1.13.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \cdot 3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

चरण 9.1.13.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

चरण 9.1.14

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.1.15

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.1.16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{7 - 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2

$7$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{4} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1^{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

घातांक को ${(e^{\frac{1}{4}})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.2.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.2.2

सरल करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

चरण 11.2.3

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

चरण 11.2.4

$- \frac{1}{4}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ का प्रसार करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

चरण 11.2.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

चरण 11.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4})$

चरण 11.2.7

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{e \cdot 4}$

चरण 11.2.8

$4$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{4 e}$

चरण 11.2.9

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{4 e}$ है.

$y = - \frac{1}{4 e}$

चरण 12

ये $f (x) = x^{4} \ln (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, - \frac{1}{4 e})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13