कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

चरण 1

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x + \frac{π}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + \frac{π}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + \frac{π}{2}$ से बदलें.

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ है.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

चरण 2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

चरण 2.2.4.2

$\cos (x + \frac{π}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (x + \frac{π}{2})$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x + \frac{π}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + \frac{π}{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

चरण 3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + \frac{π}{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

चरण 3.2.2

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

चरण 3.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

चरण 3.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

चरण 3.2.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 7

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{π}{2}$ घटाएं.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 7.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π - π}{2}$

चरण 7.3

$π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 7.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 8

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 9.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 9.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

चरण 9.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{π}{2}$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

चरण 9.2.3

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 9.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 9.2.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = π$

चरण 10

समीकरण का हल $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

चरण 11

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$0$ और $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{π}{2})$

चरण 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 12.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 13

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$0$ और $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 14.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = 1$

चरण 14.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$y = 1$

चरण 15

$x = π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 16.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 16.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

चरण 16.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

चरण 16.3.2

$2 π$ और $π$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 16.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

चरण 16.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.6

$- (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- - 1$

चरण 16.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1$

चरण 17

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$x = π$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $π$ से बदलें.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 18.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

चरण 18.2.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

चरण 18.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

चरण 18.2.3.2

$2 π$ और $π$ जोड़ें.

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 18.2.4

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

चरण 18.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (π) = - 1 \cdot 1$

चरण 18.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (π) = - 1$

चरण 18.2.7

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$y = - 1$

चरण 19

ये $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 1)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(π, - 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20