कैलकुलस उदाहरण

$H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ है.

$\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 10$ है.

$10 t^{9} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- \frac{5}{6}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{5}{6} t^{12}$ का व्युत्पन्न $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ है.

$10 t^{9} - \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 12$ है.

$10 t^{9} - \frac{5}{6} (12 t^{11})$

चरण 1.2.3

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) t^{11}$

चरण 1.2.4

$- 12$ और $\frac{5}{6}$ को मिलाएं.

$10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

चरण 1.2.5

$- 12$ को $5$ से गुणा करें.

$10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

चरण 1.2.6

$\frac{- 60}{6}$ और $t^{11}$ को मिलाएं.

$10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

चरण 1.2.7

$- 60$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$- 60 t^{11}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

चरण 1.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

चरण 1.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

चरण 1.2.7.2.4

$- 10 t^{11}$ को $1$ से विभाजित करें.

$10 t^{9} - 10 t^{11}$

चरण 1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}] + \frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ है.

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{11}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

चरण 2.2

$\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 10$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 10 t^{11}$ का व्युत्पन्न $- 10 \frac{d}{d t} [t^{11}]$ है.

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{11} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 11$ है.

$H'' (t) = - 10 (11 t^{10}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

चरण 2.2.3

$11$ को $- 10$ से गुणा करें.

$H'' (t) = - 110 t^{10} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

चरण 2.3

$\frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $10$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $10 t^{9}$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ है.

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 \frac{d}{d t} (t^{9})$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 9$ है.

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 (9 t^{8})$

चरण 2.3.3

$9$ को $10$ से गुणा करें.

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 90 t^{8}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t^{10}) + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

चरण 4.1.1.2

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot \frac{d}{d t} t^{12}$

चरण 4.1.2.2

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot (12 t^{11})$

चरण 4.1.2.3

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (t) = 10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) \cdot t^{11}$

चरण 4.1.2.4

$- 12$ और $\frac{5}{6}$ को मिलाएं.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

चरण 4.1.2.5

$- 12$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

चरण 4.1.2.6

$\frac{- 60}{6}$ और $t^{11}$ को मिलाएं.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

चरण 4.1.2.7

$- 60$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

$- 60 t^{11}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

चरण 4.1.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

चरण 4.1.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

चरण 4.1.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

चरण 4.1.2.7.2.4

$- 10 t^{11}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (t) = 10 t^{9} - 10 t^{11}$

चरण 4.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (t) = - 10 t^{11} + 10 t^{9}$

चरण 4.2

$H (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ है.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

चरण 5.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ में से $- 10 t^{9}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 10 t^{11}$ में से $- 10 t^{9}$ का गुणनखंड करें.

$- 10 t^{9} t^{2} + 10 t^{9} = 0$

चरण 5.2.1.2

$10 t^{9}$ में से $- 10 t^{9}$ का गुणनखंड करें.

$- 10 t^{9} t^{2} - 10 t^{9} \cdot - 1 = 0$

चरण 5.2.1.3

$- 10 t^{9} (t^{2}) - 10 t^{9} (- 1)$ में से $- 10 t^{9}$ का गुणनखंड करें.

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1) = 0$

चरण 5.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

चरण 5.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = t$ और $b = 1$ .

$- 10 t^{9} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

चरण 5.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$

चरण 5.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$t^{9} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

चरण 5.4

$t^{9}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$t^{9}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t^{9} = 0$

चरण 5.4.2

$t$ के लिए $t^{9} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[9]{0}$

चरण 5.4.2.2

$\sqrt[9]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

$0$ को $0^{9}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \sqrt[9]{0^{9}}$

चरण 5.4.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$t = 0$

चरण 5.5

$t + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$t + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t + 1 = 0$

चरण 5.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$t = - 1$

चरण 5.6

$t - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$t - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$t - 1 = 0$

चरण 5.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$t = 1$

चरण 5.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$t = 0, - 1, 1$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$t = 0, - 1, 1$

चरण 8

$t = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 110 {(0)}^{10} + 90 {(0)}^{8}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 110 \cdot 0 + 90 {(0)}^{8}$

चरण 9.1.2

$- 110$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 90 {(0)}^{8}$

चरण 9.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 90 \cdot 0$

चरण 9.1.4

$90$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0$

चरण 9.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 10

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(- \infty, \infty)$ को $t$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 10.2

पहले व्युत्पन्न $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ में अंतराल $(- \infty, - 1)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

व्यंजक में चर $t$ को $- 4$ से बदलें.

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{11} + 10 {(- 4)}^{9}$

चरण 10.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

$- 4$ को $11$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 4194304 + 10 {(- 4)}^{9}$

चरण 10.2.2.1.2

$- 10$ को $- 4194304$ से गुणा करें.

$H' (- 4) = 41943040 + 10 {(- 4)}^{9}$

चरण 10.2.2.1.3

$- 4$ को $9$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (- 4) = 41943040 + 10 \cdot - 262144$

चरण 10.2.2.1.4

$10$ को $- 262144$ से गुणा करें.

$H' (- 4) = 41943040 - 2621440$

चरण 10.2.2.2

$41943040$ में से $2621440$ घटाएं.

$H' (- 4) = 39321600$

चरण 10.2.2.3

अंतिम उत्तर $39321600$ है.

$39321600$

चरण 10.3

पहले व्युत्पन्न $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ में अंतराल $(- 1, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 0.5$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

व्यंजक में चर $t$ को $- 0.5$ से बदलें.

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{11} + 10 {(- 0.5)}^{9}$

चरण 10.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

$- 0.5$ को $11$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00048828 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

चरण 10.3.2.1.2

$- 10$ को $- 0.00048828$ से गुणा करें.

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

चरण 10.3.2.1.3

$- 0.5$ को $9$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 \cdot - 0.00195312$

चरण 10.3.2.1.4

$10$ को $- 0.00195312$ से गुणा करें.

$H' (- 0.5) = 0.00488281 - 0.01953125$

चरण 10.3.2.2

$0.00488281$ में से $0.01953125$ घटाएं.

$H' (- 0.5) = - 0.01464843$

चरण 10.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.01464843$ है.

$- 0.01464843$

चरण 10.4

पहले व्युत्पन्न $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ में अंतराल $(0, 1)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0.5$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

व्यंजक में चर $t$ को $0.5$ से बदलें.

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{11} + 10 {(0.5)}^{9}$

चरण 10.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1

$0.5$ को $11$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00048828 + 10 {(0.5)}^{9}$

चरण 10.4.2.1.2

$- 10$ को $0.00048828$ से गुणा करें.

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 {(0.5)}^{9}$

चरण 10.4.2.1.3

$0.5$ को $9$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 \cdot 0.00195312$

चरण 10.4.2.1.4

$10$ को $0.00195312$ से गुणा करें.

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 0.01953125$

चरण 10.4.2.2

$- 0.00488281$ और $0.01953125$ जोड़ें.

$H' (0.5) = 0.01464843$

चरण 10.4.2.3

अंतिम उत्तर $0.01464843$ है.

$0.01464843$

चरण 10.5

पहले व्युत्पन्न $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ में अंतराल $(1, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

व्यंजक में चर $t$ को $4$ से बदलें.

$H' (4) = - 10 {(4)}^{11} + 10 {(4)}^{9}$

चरण 10.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1.1

$4$ को $11$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (4) = - 10 \cdot 4194304 + 10 {(4)}^{9}$

चरण 10.5.2.1.2

$- 10$ को $4194304$ से गुणा करें.

$H' (4) = - 41943040 + 10 {(4)}^{9}$

चरण 10.5.2.1.3

$4$ को $9$ के घात तक बढ़ाएं.

$H' (4) = - 41943040 + 10 \cdot 262144$

चरण 10.5.2.1.4

$10$ को $262144$ से गुणा करें.

$H' (4) = - 41943040 + 2621440$

चरण 10.5.2.2

$- 41943040$ और $2621440$ जोड़ें.

$H' (4) = - 39321600$

चरण 10.5.2.3

अंतिम उत्तर $- 39321600$ है.

$- 39321600$

चरण 10.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $t = - 1$ के लगभग बदल दिया, तो $t = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$t = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $t = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $t = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$t = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 10.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $t = 1$ के लगभग बदल दिया, तो $t = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$t = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10.9

ये $H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$t = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$t = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$t = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$t = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$t = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$t = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11