कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + \sin (2 x) + 4$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sin (2 x) + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.3

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

चरण 1.3.2

$1 + 2 \cos (2 x)$ और $0$ जोड़ें.

$1 + 2 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.2.7

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 4 \sin (2 x)$

चरण 2.3

$0$ में से $4 \sin (2 x)$ घटाएं.

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$1 + 2 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \cos (2 x) = - 1$

चरण 5

$2 \cos (2 x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 \cos (2 x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2.1.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

चरण 6

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$2 x = \frac{2 π}{3}$

चरण 8

$2 x = \frac{2 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x = \frac{2 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 9

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 10.1.2

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 10.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 10.1.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 10.1.5

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$2 x = \frac{4 π}{3}$

चरण 10.2

$2 x = \frac{4 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$2 x = \frac{4 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 10.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 10.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 10.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 10.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$4 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 11

समीकरण का हल $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

चरण 12

$x = \frac{π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3}))$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3})$

चरण 13.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- 4 \sin (\frac{π}{3})$

चरण 13.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 13.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sqrt{3}$

चरण 14

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = \frac{π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{π}{3})) + 4$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3}) + 4$

चरण 15.2.1.2

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3}) + 4$

चरण 15.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

चरण 15.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ है.

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

चरण 16

$x = \frac{2 π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

चरण 17

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$2$ और $\frac{2 π}{3}$ को मिलाएं.

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

चरण 17.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3})$

चरण 17.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

चरण 17.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 17.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.4.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 17.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (- \sqrt{3})$

चरण 17.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \sqrt{3}$

चरण 18

$x = \frac{2 π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{2 π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 19

$x = \frac{2 π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 4$

चरण 19.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1.1

$2$ और $\frac{2 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 4$

चरण 19.2.1.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3}) + 4$

चरण 19.2.1.2

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3}) + 4$

चरण 19.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

चरण 19.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ है.

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

चरण 20

ये $f (x) = x + \sin (2 x) + 4$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 21